Quadratische Funktionen

Hier findest du die wesentlichen Merksätze und Regeln zu quadratischen Funktionen.

Funktionsgleichung

Eine Funktion von einem Definitionsbereich in einen Wertebereich wird durch eine Funktionsgleichung beschrieben.

Mit der Funktionsgleichung kannst du aus einem Wert den zugehörigen Funktionswert berechnen.

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion kann quadratische x-Terme wie x2 oder 3x2, lineare x-Terme wie x oder -2x und Konstanten wie z.B. +5 oder -2 enthalten. Zum Beispiel ist   die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion.

Definitionsbereich einer quadratischen Funktion ist . Du kannst jede Zahl aus in eine quadratische Funktion als x-Wert einsetzen und erhältst einen gültigen y-Wert in . Allerdings kommen nicht alle Werte von als Lösung für y vor. Wie der Wertebereich für eine konkrete quadratische Funktion aussieht, werden wir im folgenden sehen.

Beispiele für quadratische Funktionen:

oder

Keine quadratische Funktion ist z.B.:

Die Normalparabel

Die einfachste quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung

Wie der Graph dieser Funktion aussieht, kannst du über eine Wertetabelle ermitteln:

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3
y = x2 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9

Definitionsbereich einer quadratischen Funktion ist . Du kannst jede Zahl aus in die quadratische Funktion als x-Wert einsetzen und erhältst einen gültigen y-Wert in .

Weil das Quadrat einer Zahl aber immer positiv (oder Null) ist, kommen nur Werte mit y ≥ 0 als Funktionswert vor. Somit ist der Wertebereich für die Normalparabel . Das nennt man auch .

Den Wertebereich kannst du auch aus dem Graphen ablesen. Der Graph befindet sich nur in den ersten beiden Quadranten des Koordinatensystems.

Den tiefsten Punkt des Graphen, in diesem Fall der Ursprung, nennt man den Scheitelpunkt S der Funktion.

Eigenschaften der Normalparabel:

  • Der Scheitelpunkt liegt bei S(0|0).
  • Der Graph fällt für x < 0 (die x-Koordinate des Scheitelpunktes) und steigt für x> 0.
  • Die y-Koordinate des Scheitelpunktes – hier ebenfalls 0 – bestimmt den Wertebereich. Für den Wertebereich gilt: y ≥ 0.

Punkte berechnen:

für

Graph der Normalparabel:

Interaktive Übungen: Die Normalparabel

Funktionswerte berechnen

Wenn du für x verschiedene Zahlen in eine Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du die zugehörigen Funktionswerte y.

Über eine solche Wertetabelle kannst du theoretisch jeden Funktionsgraphen ermitteln:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = x2 9 4 1 0 1 4 9
y = x2-3 6 1 -2 -3 -2 1 6
y = x2+2x + 1 4 1 0 1 4 9 16

Wenn du die y-Koordinate von Punkten berechnest, setze negative x-Werte immer in Klammern. Das Quadrat einer negativen Zahl ist ebenfalls positiv!

Wie du siehst ist der Graph aller hier gezeigten Funktionen eine verschobene Normalparabel. Du kannst den Graphen mit Hilfe einer Parabelschablone zeichnen. Das ist immer der Fall, wenn vor dem x2 kein Faktor steht. Somit ist y = x2-3x -7 eine verschobene Normalparabel. Die Funktion y = 3x2 -1 dagegen nicht.

Wenn du den Graphen einer Funktion mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen möchtest, musst du vorher die x-Werte geeignet wählen, für die du die zugehörigen y-Werte berechnen willst.

Optimalerweise berechnest du je 3 x-Werte links und rechts vom Scheitelpunkt. Hat der Scheitelpunkt S die x-Koordinate 0, so berechnest du den Funktionswert für die x-Werte -2; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 2. Hat der Scheitelpunkt S die x-Koordinate 3, so berechnest du am besten den Funktionswert für die x-Werte 1; 2 ;2,5; 3; 3,5; 4; 5.

Dafür wäre es hilfreich, wenn du den Scheitelpunkt aus der Funktionsgleichung ablesen könntest. Das wollen wir uns im nächsten Abschnitt ansehen.

Funktionen:

Punkte berechnen:

für x = -2 gilt:

Graph der Parabeln:

Interaktive Übungen: Wertetabelle und Graphen von Parabeln

Normalparabel verschieben

Wir wollen nun aus der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen. Dann können wir den Graphen direkt mit der Parabelschablone zeichnen, wenn vor dem x2 kein Faktor steht.

Normalparabel nach oben und unten verschieben

Wenn die Funktionsgleichung die Form y = x2+e hat, wird der Graph der Normalparabel nach oben (e>0) oder unten (e<0) verschoben. Alle y-Werte verschieben sich um e.

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = x2 9 4 1 0 1 4 9
y = x2-1 8 3 0 -1 0 3 8
y = x2 + 1 10 5 2 0 2 5 10

Eigenschaften:

  • Der Scheitelpunkt liegt bei S(0|e).
  • Der Graph fällt für x < 0 (die x-Koordinate des Scheitelpunktes) und steigt für x> 0.
  • Die y-Koordinate e des Scheitelpunktes bestimmt den Wertebereich. Für den Wertebereich gilt: y ≥ e.

Funktionen:

Graph der Parabeln:

Normalparabel nach links und rechts verschieben

Wenn die Funktionsgleichung die Form y = (x+d)2 hat, wird der Graph der Normalparabel nach rechts (d<0) oder links (d>0) verschoben.

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = x2 9 4 1 0 1 4 9
y = (x-1)2 16 9 4 1 0 1 4
y = (x+1)2 4 1 0 1 4 9 16

Eigenschaften:

  • Der Scheitelpunkt liegt bei S(-d|0).
  • Der Graph fällt für x < -d (die x-Koordinate des Scheitelpunktes) und steigt für x> -d.
  • Die y-Koordinate 0 des Scheitelpunktes bestimmt den Wertebereich. Für den Wertebereich gilt: y ≥ 0.

Funktionen:

Graph der Parabeln:

Normalparabel oben, unten, links und rechts verschieben

Wenn die Funktionsgleichung die Form y = (x+d)2+e hat, wird der Graph der Normalparabel nach rechts (d<0) oder links (d>0) und nach oben (e>0) oder unten (e<0) verschoben.

Die Darstellung y= (x+d)2+e nennt man die Scheitelform der Funktionsgleichung.

Wertetabelle:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = x2 9 4 1 0 1 4 9
y = (x-1)2-3 13 6 1 -2 -3 -2 1

Eigenschaften:

  • Der Scheitelpunkt liegt bei S(-d|e).
  • Der Graph fällt für x < -d (die x-Koordinate des Scheitelpunktes) und steigt für x> -d.
  • Die y-Koordinate e des Scheitelpunktes bestimmt den Wertebereich. Für den Wertebereich gilt: y ≥ e.

Funktionen:

Graph der Parabeln:

Interaktive Übungen: Parabel verschieben

Nullstellen in Scheitelform berechnen

Nullstelle sind x-Werte, wo der Graph der Funktion die x-Achse schneidet. Dies sind x-Koordinaten von Punkten auf dem Graphen, deren y-Koordinate Null ist.

Du erhältst die Nullstellen, indem du die Funktionsgleichung gleich Null setzt. Die Lösung dieser Gleichung sind dann die Nullstellen.

Beispiele:

  1. ,   Der Graph zeigt eine Nullstelle bei x = 0.
  2. ,   Der Graph zeigt keine Nullstelle.
  3. ,   Der Graph zeigt zwei Nullstellen bei x = -1 und x = 3.

Rechnerisch erhältst du diese Nullstellen wie folgt:

  1. Setze die Funktionsgleichung gleich Null.
  2. Löse die Gleichung.

Wir gehen die Beispiele durch:

  1. , setze die Funktionsgleichung Null:
  2. , setze die Funktionsgleichung Null: nicht lösbar: Quadrate sind immer positiv.
  3. , setze die Funktionsgleichung Null:

In der gleichen Weise ist es möglich, Nullstellen zu bestimmen, selbst wenn vor dem Quadratterm ein Faktor steht:

Interaktive Übungen: Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelform berechnen

Scheitelkoordinaten aus der Normalform bestimmen

Oft ist deine Funktionsgleichung aber nicht in der Scheitelform f: y = (x+d)2 + e gegeben. Du kannst dann den Scheitelpunkt nicht ohne Weiteres ablesen. Schauen wir uns zum Beispiel die folgende Funktion an: f: y= x2 -3x +1,25

Vor dem x2 steht kein Faktor, es handelt sich also um eine verschobene Normalparabel.

Du könntest sie mit der Parabelschablone zeichnen - wenn du nur wüsstest, wo der Scheitel liegt.

Um herauszufinden, wo der Scheitel liegt, musst du die Funktion in Scheitelform bringen. Das geht mit der sogenannten Quadratischen Ergänzung (siehe rechts).

Alternativ kannst du aus einer Funktionsgleichung in der sogenannten Normalform den Scheitelpunkt auch mit einer fertigen Formel berechnen.

Formel für den Scheitelpunkt

Für eine Funktionsgleichung in Normalform f: y = x2 + px + q liegt der Scheitelpunkt bei S(p/2 | -(p/2)2 + q)

Beispiel

Für die Funktionsgleichung f: y= x2 -3x +1,25 ist p = -3 und q = + 1,25. Somit liegt der Scheitelpunkt bei

Quadratische Ergänzung:

Bestimme die Scheitelform und damit den Scheitelpunkt der Funktion
f: y=x2 + px + q oder konkret von f: y = x2 -3x + 1,25.

Interaktive Übungen: Quadratisch Ergänzen

Nullstelle in Normalform berechnen

Die Nullstellen sind die x-Koordinaten, wo der Graph die x-Achse schneidet. Das heißt, wir suchen Punkte auf dem Graphen mit y-Koordinate 0.

Die Nullstellen sind somit die Lösungen der Gleichung
x2 + px + q = 0

Diese Gleichung nach x aufzulösen, ist nicht so einfach. Wie das geht, siehst du rechts. Um Nullstellen zu berechnen, musst du jedoch nur die Lösungsformel für die Lösung dieser Gleichung kennen, die sogenannte pq-Formel:

Herleitung der pq-Formel

Die pq-Formel

Eine quadratische Funktion hat keine, eine oder zwei Nullstellen. Du berechnest sie mit der Formel:

Merke:

  1. Wenn der Term unter der Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösung. Die Funktion hat also keine Nullstelle.
  2. Ist der Term unter der Wurzel null, gibt es nur eine Lösung, nämlich - p/2.
  3. Für positive Werte unter der Wurzel gibt es zwei Lösungen, also zwei Nullstellen.
Interaktive Übungen: Scheitelpunkt und Nullstellen aus der Normalform berechnen

Punkte auf dem Graphen berechnen

Die Funktionsgleichung sagt dir, wie du aus einem x-Wert den zugehörigen y-Wert ausrechnen kannst. Zum Beispiel gehört bei der Funktionsgleichung f: y = x2 -3x + 1 zu dem x-Wert (-2) der y-Wert
(-2)2 -3· (-2) + 1 = 11. Der Punkt (-2|11) liegt also auf dem Graphen von f.

Hast du somit eine Funktionsgleichung und die x-Koordinate eines Punktes auf dem Graphen gegeben, so kannst du die y-Koordinate berechnen, indem du in die Funktionsgleichung einsetzt.

Genauso kannst du überprüfen, ob ein Punkt P auf dem Graphen von f liegt. In obigem Beispiel wollen wir prüfen, ob der Punkt P(2|3) auf dem Graphen liegt. Wir setzen 2 in die Funktiongleichung ein: (2)2- 3 · 2 + 1 = 1. Also ist die zu 2 gehörige y-Koordinate 1 und nicht 3. Der Punkt P liegt also nicht auf dem Graphen.

Etwas komplizierter ist es, wenn wir die y-Koordinate gegeben haben und die zugehörige x-Koordinate wissen möchten. Hierbei kann es wie bei den Nullstellen

  • keine Lösung
  • eine Lösung oder
  • zwei Lösungen

für die zugehörigen x-Koordinaten geben.

Für die obige Beispielfunktion f erhältst du beispielsweise für den y-Wert 1,5 zwei mögliche x-Koordinaten und somit zwei verschiedene Punkte auf dem Graphen mit der y-Koordinate 1,5 (siehe Bild rechts). Für die y-Koordinate -1,5 gibt es hingegen keine mögliche x-Koordinate, denn -1,5 liegt nicht im Wertebereich der Funktion.

Berechnen kannst du die zugehörigen x-Koordinaten genau wie wir es gerade bei der Berechnung der Nullstelle gesehen haben mit der pq-Formel. Statt die Funktionsgleichung Null zu setzen, musst du für y die y-Koordinate einsetzen. Suchen wir die möglichen x-Koordinaten für y = 1,5 lautet die Gleichung somit 1,5 = x2 -3x + 1

Wir wollen die pq-Formel anwenden, dafür muss auf einer Seite der Gleichung Null stehen. Wir bringen also 1,5 nach rechts und erhalten die Gleichung 0 = x2 -3x -0,5

Jetzt wenden wir die pq-Formel an und erhalten die möglichen x-Koordinaten 1,5 +- wurzel (1,5^2 +0,5). Die x-Werte liegen also wie auch in der Zeichnung sichtbar ungefähr bei -0,16 und 3,16.

Interaktive Übungen: Punkte berechnen

Parabel skalieren

Bisher haben wir nur quadratischen Funktionen betrachtet, bei denen kein Faktor vor x2 steht. Wie sehen aber die Funktionen 2x2 oder auch 0,5x2 aus?

Dem können wir uns wieder über eine Wertetabelle annähern.

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3
y = x2 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9
y = 0,5x2 4,5 2 0,5 0,125 0 0,125 0,5 2 4,5
y = 2x2 18 8 2 0,5 0 0,5 2 8 18
y = -2x2 -18 -8 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -8 -18

Eine quadratische Funktion der Form y = ax2 heißt gestreckt, wenn |a| > 1 ist und gestaucht, wenn |a|<1 ist. Ist a negativ, dann öffnet sich der Graph nach unten. So ist der Graph von y=-3x2 der an der x-Achse gespiegelte Graph von y = 3x2.

Auch gestreckte und gestauchte Funktionen können verschoben werden. So entspricht der Graph von y = 3x2+2 dem um 2 Einheiten nach oben verschobenen Graphen von y = 3x2.

Interaktive Übungen: Quadratische Funktion skalieren

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die x2-Terme, x-Terme und Zahlen enthält, z.B.
x2 + 2x -1 = 3x2-x -3

Um die Gleichung zu lösen, kannst du immer wie folgt vorgehen:

  1. Bringe alle Terme auf eine Seite, so dass auf der anderen Seite 0 steht. Du erhältst im Beispiel: -2x2 + 3x + 2 = 0
  2. Teile die ganze Gleichung durch den Faktor vor dem x2. Du erhältst die Gleichung: x2-1,5x -1 = 0
  3. Wende die pq-Formel an.
Interaktive Übungen: Quadratische Gleichung lösen

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