Ganze Zahlen

Welchen Wert eine Ziffer hat, hängt davon ab, wo sie steht. Die 4 in 3.408.215 hat nicht den Wert vier, sondern den Wert vierhunderttausend.

Von rechts nach links verzehnfacht sich der Stellenwert mit jedem Schritt: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender und so weiter.

Je drei Stellen bilden einen Block — Tausender, Millionen, Milliarden. Mit einer Stellenwerttafel kannst du Stellenwerte und die 3er-Blöcke veranschaulichen.

Beim Schreiben einer Zahl lässt man zwischen den 3er-Blöcken eine kleine Lücke oder man setzt einen Punkt, damit man die 3er-Blöcke auf einen Blick erkennt.

H = Hunderter, Z = Zehner, E = Einer; T = Tausender, M = Millionen, ZM = Zehn Millionen, HM = Hundert Millionen, Mrd = Milliarden, ZMrd = Zehn Milliarden

Steht in einer Stelle nichts, schreibst du eine 0. Sie ist der Platzhalter, der alle anderen Ziffern an ihrem Platz hält: Ohne die 0 in 3.408.215 stünde dort 3.48.215 — eine ganz andere Zahl.

Auf dem Zahlenstrahl stehen die Zahlen in der richtigen Reihenfolge. Die Abstände auf dem Zahlenstrahl entsprechen dem Abstand zwischen den Zahlen.

Du kannst einen groben Zahlenstrahl zeichnen, wo nur die 1000er markiert sind, oder einen genauen Zahlenstrahl, wo jede ganze Zahl markiert ist.

Der Zahlenstrahl hat große und kleine Markierungen. Der Abstand zwischen den kleinen Markierungen ist immer ein Zehntel von dem Abstand zwischen den großen Markierungen.

Du kannst jede Zahl auf dem Zahlenstrahl finden, du musst nur weit genug laufen oder tief genug hineinzoomen, d.h. die Abstände der Markierungen genügend klein wählen. Dies kannst du mit der folgenden interaktiven Übung online üben.

Beim Multiplizieren mit 10, 100 oder 1000 musst du nicht rechnen — du musst nur rücken.

Mal 10 heißt: Jede Ziffer rutscht eine Stelle nach links und ist damit zehnmal so viel wert. Rechts kommt eine 0 nach. Geteilt durch 10 heißt dasselbe nach rechts.

So viele Nullen die Zehnerpotenz hat, so viele Stellen rückst du. Beim Multiplizieren zweier runder Zahlen rechnest du deshalb nur die vorderen Ziffern und hängst alle Nullen wieder an:

Vorsicht beim Teilen: Hier werden die Nullen nicht angehängt, sondern weggestrichen — gegeneinander. 1.200.000 : 300 = 4.000.

275 und 275 · 100: dieselben Ziffern, zwei Stellen weiter links.

Für das Kopfrechnen ist es nützlich, zu wissen, durch welche Zahlen du 10, 100, 1000 teilen kannst.

Teiler von 10:

Teiler von 1000:

Bei den schriftlichen Verfahren steht Stelle unter Stelle: Einer unter Einer, Zehner unter Zehner. Nutze immer die Kästchen von deinem Rechenpapier und schreibe sauber untereinander. Gerechnet wird immer von rechts nach links, Stelle für Stelle.

Wenn du vergessen hast, wie die jeweilige Rechenart funktioniert, lass dich am besten Schritt für Schritt hindurchführen. Nutze dafür die verlinkten Übungen.

Addieren: Wird eine Stelle zehn oder mehr, schreibst du nur die Einerziffer hin; die 1 ist der Übertrag. Du markierst sie als Merke eine Stelle weiter links dazu. Lass dich Schritt für Schritt durch das Addieren führen.

6 + 5 = 11: die 1 bleibt stehen, die andere 1 wandert als Übertrag zu den Zehnern. 7 + 8 + 1 = 16 — wieder ein Übertrag.

Subtrahieren: Beginne bei der Einerstelle. Subtrahiere die Ziffern. Reicht die obere Ziffer nicht, borgst du dir einen Zehner von links. Den Übertrag merkst du unten beim Abziehen. Lass dich Schritt für Schritt durch das Subtrahieren führen.

4 - 8 geht nicht, rechne 14 - 8 = 6: die 6 bleibt stehen, die 1 wandert als Übertrag zu den Zehnern. 3 - (9 + 1) geht nicht, rechne 13 - 10 — wieder ein Übertrag. Der Übertrag wird mit abgezogen.

Multiplizieren: Jede Ziffer des zweiten Faktors wird einzeln malgenommen, von rechts nach links. Zum Schluss alles addieren. Lass dich Schritt für Schritt durch das Multiplizieren führen.

7 · 3 = 21: die 1 bleibt stehen, die 2 wandert als Übertrag zu den Zehnern. 7 · 8 = 56, dazu der Übertrag 2 ergibt 58 — die 8 bleibt stehen, die 5 wandert weiter. 7 · 7 = 49, dazu 5 ergibt 54.

Mit einer zweistelligen Zahl rechnest du zweimal: erst mal den Zehner, dann mal den Einer. Die erste Zeile gehört zu den Zehnern und steht deshalb eine Stelle weiter links — sie ist in Wahrheit 426 · 30, nur ohne die Null geschrieben. Am Ende addierst du beide Zeilen. Lass dich Schritt für Schritt hindurchführen.

426 · 3 = 1278 — eine Stelle nach links gerückt. 426 · 7 = 2982. Beide Zeilen addiert ergeben 15.762.

Dividieren: Du teilst von links nach rechts, holst die nächste Ziffer herunter und rechnest weiter. Passt der Divisor nicht in die Zahl, d.h. das Ergebnis der Teilung ist 0, steht eine 0 im Ergebnis — diese Null wird am häufigsten vergessen. Lass dich Schritt für Schritt durch das Dividieren führen.

8 : 4 = 2, Rest 0. Die 1 wird heruntergeholt: 1 : 4 geht nicht — also eine 0 ins Ergebnis und weiter. Die 6 dazu: 16 : 4 = 4, Rest 0. Ohne die Null im Ergebnis stünde dort 24 statt 204.

Steht in einer Rechnung mehr als ein Zeichen, ist die Reihenfolge nicht frei:

1. Klammern zuerst.
2. Punkt vor Strich — mal und geteilt vor plus und minus.
3. Sonst von links nach rechts.

Drei Gesetze helfen dir, geschickter zu rechnen:

• Kommutativgesetz — vertauschen: 25 · 7 · 4 = 25 · 4 · 7 = 100 · 7 = 700
• Assoziativgesetz — anders zusammenfassen: (17 + 8) + 2 = 17 + (8 + 2) = 27
• Distributivgesetz — ausmultiplizieren oder ausklammern: 7 · 103 = 7 · (100 + 3) = 7 · 100 + 7 · 3 = 721 oder
  7 · 999 = 7 · (1000 - 1) = 7 · 1000 - 7 · 1 = 7000 - 7 = 6993

Achtung: Vertauschen und Umklammern dürfen nur plus und mal. Bei minus und geteilt ändert sich dabei das Ergebnis.

Rechne immer nur einen Schritt und schreibe den Rest unverändert ab. So verlierst du nichts.

Runden heißt: Du suchst die nächstgelegene runde Zahl. Vier Schritte, immer dieselben:

1. Zeichne auf die Stelle, auf die du rundest, einen Pfeil.
2. Beim Runden achtest du auf die Stelle hinter dem Pfeil — die Stelle mit dem Auge.
3. Ist die Ziffer mit dem Auge kleiner als 5, bleibt die Ziffer mit dem Pfeil gleich. Sonst erhöht sie sich um 1.
4. Alle Ziffern hinter dem Pfeil werden Null.

Du schaust also immer nur auf eine Ziffer — die mit dem Auge. Was dahinter steht, ist gleichgültig: Ob 4.321 oder 4.329 — beide werden zu 4.300, denn bei beiden steht die 2 unter dem Auge.

3.056.798 auf Zehntausender: Der Pfeil steht auf der 5, das Auge auf der 6. Sechs ist mehr als fünf — aus der 5 wird eine 6, alles dahinter wird Null.

Warum das stimmt: 4.371 liegt rechts von der Mitte, ist also näher an 4.400. Die Ziffer mit dem Auge sagt dir genau das — du musst den Zahlenstrahl nicht jedes Mal zeichnen.

Steht unter dem Pfeil eine 9 und du musst aufrunden, kann die 9 nicht um eins wachsen. Dann gilt:

Aus der 9 wird eine 0, und du addierst 1 zur Ziffer vor dem Pfeil.

Manchmal musst du das mehrmals wiederholen — nämlich dann, wenn vor dem Pfeil auch eine 9 steht:

Das ist derselbe Übertrag wie beim schriftlichen Addieren: Was nicht mehr in eine Stelle passt, wandert nach links.

Die 9 wird zur 0, die 4 bekommt das Eins dazu.

Hier zweimal hintereinander: Beide Neunen werden zu Null, erst die 4 nimmt das Eins auf.

Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht. Ob das klappt, siehst du den meisten Zahlen an, ohne zu rechnen.

Zwei Arten von Regeln gibt es:

• Bei 2, 5, 10 und bei 4 und 8 schaust du nur auf die letzten Stellen. Der Rest der Zahl ist ohnehin durch 10, 100 beziehungsweise 1000 teilbar.
• Bei 3 und 9 bildest du die Quersumme — du addierst alle Ziffern. Ist die Quersumme teilbar, ist es die Zahl auch.

Eine Zahl, die durch 2 und durch 3 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar — das gilt immer, wenn die beiden Teiler nichts gemeinsam haben.

Die Teilermenge einer Zahl sind alle Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist. Teiler kommen immer paarweise: Wenn 4 ein Teiler von 28 ist, dann ist 7 es auch, denn 4 · 7 = 28.

So findest du alle Teiler: Probiere der Reihe nach 1, 2, 3, 4 … Passt eine Zahl, schreibst du sie und ihren Partner auf. Du darfst aufhören, sobald sich die beiden treffen — danach kommt nichts Neues mehr.

Die Teilermenge von 28 ist also {1; 2; 4; 7; 14; 28}.

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. Ihre Tabelle hat deshalb nur eine Zeile. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 …

Die 1 ist keine Primzahl — sie hat nur einen einzigen Teiler.

Brauchst du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Zahlen, schreibst du beide Teilermengen auf und suchst die größte Zahl, die in beiden vorkommt.

Jede Zeile ergibt mal genommen die Zahl: 1 · 28, 2 · 14, 4 · 7. Bei 3, 5 und 6 geht es nicht auf, deshalb fehlen sie. Nach 4 · 7 wäre das nächste Paar 7 · 4 — dasselbe noch einmal.