3-dim Anschauung und das Schrägbild
In der Schule beschränkt sich die Darstellung 3-dimensionaler Objekte in der Regel auf das sogenannte Schrägbild. Dabei handelt es sich um eine spezielle Axiometrie, die Fachleuten unter dem Namen Kavalierprojektion bekannt ist.
Die Kavalierprojektion ist einfach durchzuführen und liefert oft einen guten räumlichen Eindruck der abgebildeten Körper. Nichtsdestoweniger weicht sie von dem tatsächlichen bildlichen Eindruck 3-dimensionaler Objekte, wie wir ihn mit dem Auge oder auf einem Foto sehen, stark ab.
Das Schrägbild
Beim in der Schule gelehrten Schrägbild werden Längen in zwei Richtungen (links und oben) unverzerrt abgebildet. Die Tiefe wird im 45° Winkel nach hinten und auf die Hälfte verkürzt abgetragen.
Diese Art der Darstellung von 3-dimensionalen Objekten hat auch außerhalb der Schulmathematik große Verbreitung. Sie ist zum Beispiel Gegenstand einer DIN-Norm (Deutsche Industrienorm: ISO 5456-3). So werden technische Zeichnungen angefertigt.
Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass sie einen guten räumlichen Eindruck des Körpers gibt, aber die Vorderseite unverzerrt darstellt. Wir kennen derartige Darstellung aus Aufbauanleitungen von Ikea und anderen technischen Anleitungen. Die unverzerrte Vorderseite erleichtert es, zu erkennen, wo Details wie Schrauben oder Löcher genau positioniert sind / werden sollen, der räumliche Eindruck, der durch die verkürzt dargestellte Tiefe erzeugt wird, erleichtert das Erkennen des richtigen Objekts und die Groborientierung darauf.
Kreise und Rundungen in der Kavalierprojektion
Die Kavalierprojektion hat jedoch auch Nachteile. So werden Kreise und Rundungen nicht gut wiedergegeben, wenn sie sich nicht gerade in einer unverzerrt wiedergegebenen Ebene befinden. Hier eine Kugel zunächst in der üblichen Darstellung als Orthogonalprojektion (auch Parallelprojektion) und dann als Kavalierprojektion:
In der Kavalierprojektion ist der Umriss der Kugel eine leicht gedrehte Elipse.
Entsprechend "verbeult" sieht die Projektion eines Zylinders aus, hier wieder zunächst in Orthogonalprojektion, dann als Kavalierprojektion:
Konturlinien
Die Abbildungen des Zylinders weisen auf ein Thema hin, das in der Schule nicht diskutiert wird: Projiziert man eine Körper mit runden Flächen auf eine Ebene, so wird die Projektion durch Konturlinien begrenzt, die keinen Kanten des Körpers entsprechen.
Bei den vorgehenden Abbildungen des Zylinders wird hier eine Schwierigkeit sichtbar. Bei der Orthogonalprojektion links ist die Projektion offensichtlich durch zwei Seitenlinien begrenzt. Verbunden werden erstens die beiden linken Endpunkte der beiden horizonalen Elipsenachsen und zweitens die beiden rechten Endpunkte dieser Elipsenachsen.
Bei dem Schrägbild rechts werden nach Logik der Konstruktion die beiden schwarz eingezeichneten Seitenlinien gezeichnet. Diese berühren die Quader-Seiten, wenn man den Zylinder in einen Quader einbeschrieben zeichnet. Sie sind jedoch nicht die Konturlinien des Zylinders. Dies sind die Begrenzungslinien der blau hinterlegten Fläche.
Darstellungen des Kegels
Hier eine Darstellung als Orthogonalprojektion und als Schrägbild einmal mit einem Beispiel, wo die Höhe im Verhältnis zum Radius groß ist:
Wie beim Zylinder fallen beim Schrägbild des Kegels die verbeulte Grundfläche und die nicht plausibel erscheinenden Konturlinien auf. Diese Probleme werden noch augenscheinlicher, wenn die Höhe im Verhältnis zum Radius klein wird:
3d-Skizzen
Deshalb wird in der Schule auch für Zylinder, Kegel und Kugel eine andere 3-dim Darstellung gelernt. Die nach hinten weisende y-Achse wird bei diesen runden Formen nicht im 45° Winkel, sondern in vertikaler Richtung nach oben auf die Hälfte verkürzt angetragen. Dies liefert für sich genommen einen schönen 3-dimensionalen Eindruck (sofern man die Konturlinien des Kegels korrekt tangential einzeichnet). Hier Zylinder und Kegel mit jeweils Radius 2 cm und Höhe 4 cm:
Der Systembruch wird jedoch offenbar, wenn runde Formen und Quader mit ihren nach unterschiedlicher Systematik erzeugten Schrägbildern in einem Bild gezeichnet werden. Im folgenden 3 Bilder eines Würfels mit eingebettetem Zylinder:
- links eine Kavalierprojektion mit der sichtbar unvorteilhaften Wiedergabe des Zylinders
- in der Mitte die ineinandergezeichneten Schrägbilder bzw. Skizzen, wie sie in der Schule gelehrt werden
- rechts eine Orthogonalprojektion. Mit ihr werden beide Körper sehr gut wiedergegeben.
Das Pythagoras-Dreieck und die Konturlinien des Kegels
Im Zentrum der Schuldidaktik steht das rechtwinklige Dreieck, das unverzerrt dargestellt wird, wenn man die Endpunkte der langen Elipsenachse mit der Spitze des Kegels verbindet. An ihm wird die Berechnung der Länge der Mantellinie demonstriert. Diese ist wiederum auch wichtig für die Konstruktion des Kegelnetzes.
Dabei wird gerne unter den Tisch gekehrt, dass die Hypothenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks nicht der Konturlinie des Kegels entspricht.
Eine Verkürzung der Längen in y-Richtung auf die Hälfte entspricht einer Neigung des Kegels nach vorn um 30°. Dann ist deutlich mehr als die Hälfte der Grundkante sichtbar, die Hypothenuse liegt voll im sichtbaren Bereich. Die Konturlinien liegen dahinter.
Der Abstand zu den Konturlinien und die Mogelei fällt nicht auf, solange die Höhe groß im Verhältnis zum Radius ist. Je weniger dies der Fall ist, umso offensichtlicher wird, dass die beiden Mantellinien sich unterscheiden:
Andere Mogeleien
Je nach Bundesland sind noch andere Mogeleien im Umlauf, um eine akzeptable 3d-Skizze zu liefern, ohne einen Systembruch zu diskutieren.
Zum Beispiel wird in einigen Bundesländern durch den folgenden Trick eine deutlich stärkere Verkürzung der y-Achse erreicht:
- Im Fußpunkt des Kegels wird der Radius im 45° Winkel auf die Hälfte verkürzt nach hinten angetragen.
- Im Folgenden werden aber nicht alle parallelen Sehnen in gleicher Weise auf die Hälfte verkürzt im 45° Winkel angetragen, dies würde ein echtes unvorteilhaftes Schrägbild wie oben ergeben, sondern es wird einfach durch die beiden so ermittelten Punkte achsensymmetrisch zu h eine Elipse gezeichnet.
Auf diese Weise entsteht eine 3d-Skizze wie oben (y-Achse wird nach oben angetragen), mit dem Unterschied, dass durch diesen Trick eine stärkere Verkürzung der y-Achse auf sqrt(1/8) ≈ 35% erreicht wird. Diese Skizze wird dem Schüler als Schrägbild verkauft. Auch diese 3d-Skizze passt selbstredend nicht in das Schrägbild eines Quaders mit Seitenlängen 2r, 2r und h und stellt ebenso einen Systembruch dar.
Die stärkere Verkürzung der y-Achse entspricht einer Kippung des Kegels um nur ca 20,7°. Der Abstand zwischen der Hypothenuse des Pythagoras-Dreiecks und den Konturlinien des Kegels fällt deutlich geringer aus. Für Höhen, die klein im Verhältnis zum Radius sind, ist der Unterschied - und damit der Fehler - trotzdem offensichtlich.
Die vollständige Heresie ist es freilich, statt der Elipse eine Linse zu zeichnen. Hierdurch wird die Anschauung des Schülers eher zerstört als verbessert:
Die Projektion eines Kreises hat niemals Ecken
Orthogonalprojektionen entsprechen sehr viel mehr dem, wie wir Körper tatsächlich sehen, als das Schrägbild. Somit sind die Abbildungen im Schulbuch, wenn es sich nicht um Zeichen-Vorlagen handelt, in der Regel Orthogonalprojektionen. Auch Geogebra zeigt uns dynamische Orthogonalprojektionen 3-dimensionaler Körper.
Orthogonalprojektionen sind schon für einfache Körper wie den Würfel nicht einfach von Hand zu zeichnen. Daher wird der Schüler angehalten, Kavalierprojektionen oder Skizzen zu zeichnen, Eines sollte jedoch auch bei einer Skizze beachtet werden:
Ein Kreis ist eine glatte (differenzierbare) Kurve. Die Orthogonalprojektion eines Kreises ist eine Elipse (d.h. sie hat niemals Ecken).
Schnittpunkte von Konturlinien
Während die Projektion von glatten 2-dim Kurven also wieder eine glatte Kurve ergibt, kann der Umriss von einem glatten Körper in der Projektion durchaus Ecken haben. So erscheint das Innere eines Torus in der Projektion in der Regel mit 2 Ecken:
Den Mantel des Torus kann man sich als Umhüllung einer Kugel vorstellen, die auf dem Kreis, in der Mitte des Torus entlangläuft. Dann sieht man dass die umhüllende Kurve der Torusprojektion eine Parallelkurve zu der Projektion des Mittelkreises ist (im Bild rot). Man hat somit für die umhüllenden Kurven der Torusprojektion 3 Fälle:
Das Innere des Torus kann also in der Projektion einen glatten Rand haben, in der Regel hat der Rand der Projektion aber Ecken. Betrachtet man auch die Schatten im Bild oben, versteht man, weshalb der Smiley, den die Mathematiker gewöhnlich in die Torusskizze zeichnen, so gut aussieht:
Der hier genutzte Latex-Code für die Torusdarstellungen findet sich hier:
https://tex.stackexchange.com/questions/348/how-to-draw-a-torus