Der Kreis liegt zwischen den beiden Vielecken, sein Umfang also zwischen deren Umfängen. Mit r = 1 ist der Kreisumfang genau 2π. Der halbe Umfang der Vielecke liefert also eine untere und obere Schrange für π. Das gilt für jede Eckenzahl, ohne dass man π vorher kennen müsste.
Das innere Vieleck ist einbeschrieben. Seine Ecken liegen auf dem Kreis. Das äußere Vieleck ist umbeschrieben. Seine Seiten berühren den Kreis mittig zwischen zwei Ecken.
Beim Sechseck ist die Seite genau so lang wie der Radius – die sechs Dreiecke sind gleichseitig, man sieht es an den eingezeichneten Radien. Deshalb steht dort als untere Schranke eine glatte 3.
Die grauen Strahlen zeigen zugleich die „Dächer" zwischen den beiden Vielecken: genau darin unterscheiden sie sich, und genau die werden beim Verdoppeln der Ecken kleiner. Ab 48 Ecken werden sie nicht mehr gezeichnet – dort liegen sie so dicht, dass sie nur noch stören.
Archimedes kam bis zum 96-Eck und gab 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 an. Seine Schranken sind etwas weiter als unsere, weil er die Wurzeln durch Brüche annähern musste – einen Taschenrechner hatte er nicht, und den Sinus gab es noch nicht. Seine Hilfsmittel waren der Satz des Pythagoras und die Ähnlichkeitssätze.
Die untere Schranke kommt vom inneren Vieleck, die obere vom äußeren.
Für Arbeitsblatt und Kopierer: Kreis und beide Vielecke als reine Linienzeichnung. Welche Linie welche ist, erkennt man an ihrer Lage – innen, auf dem Kreis, außen –, dafür braucht es keine Farbe.