Die Kavalierprojektion ist einfach durchzuführen und liefert oft einen guten räumlichen Eindruck der abgebildeten Körper. Nichtsdestoweniger weicht sie von dem tatsächlichen bildlichen Eindruck 3-dimensionaler Objekte, wie wir ihn mit dem Auge oder auf einem Foto sehen, stark ab.

Das Schrägbild

Beim in der Schule gelehrten Schrägbild werden Längen in zwei Richtungen (links und oben) unverzerrt abgebildet. Die Tiefe wird im 45° Winkel nach hinten und auf die Hälfte verkürzt abgetragen.

Diese Art der Darstellung von 3-dimensionalen Objekten hat auch außerhalb der Schulmathematik große Verbreitung. Sie ist zum Beispiel Gegenstand einer DIN-Norm (Deutsche Industrienorm: ISO 5456-3). So werden technische Zeichnungen angefertigt.

Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass sie einen guten räumlichen Eindruck des Körpers gibt, aber die Vorderseite unverzerrt darstellt. Wir kennen derartige Darstellung aus Aufbauanleitungen von Ikea und anderen technischen Anleitungen. Die unverzerrte Vorderseite erleichtert es, zu erkennen, wo Details wie Schrauben oder Löcher genau positioniert sind / werden sollen, der räumliche Eindruck, der durch die verkürzt dargestellte Tiefe erzeugt wird, erleichtert das Erkennen des richtigen Objekts und die Groborientierung darauf.

Die Kavalierprojektion hat jedoch auch Nachteile. So werden Kreise und Rundungen nicht gut wiedergegeben, wenn sie sich nicht gerade in einer unverzerrt wiedergegebenen Ebene befinden. Hier eine Kugel zunächst in der üblichen Darstellung als Orthogonalprojektion (auch Parallelprojektion) und dann als Kavalierprojektion:

In der Kavalierprojektion ist der Umriss der Kugel nicht ganz rund, sondern vielmehr eine Elipse: breiter als hoch.

Noch weniger gut macht sich die Kavalierprojektion bei einem Zylinder, hier wieder zunächst in Orthogonalprojektion, dann als Kavalierprojektion:

Konturlinien

Die Abbildungen des Zylinders weisen auf ein Thema hin, das in der Schule nicht diskutiert wird: Projiziert man eine Körper mit runden Flächen auf eine Ebene, so wird die Projektion durch Konturlinien begrenzt, die keinen Kanten des Körpers entsprechen.

Bei den vorgehenden Abbildungen des Zylinders wird hier eine Schwierigkeit sichtbar. Bei der Orthogonalprojektion links ist die Projektion offensichtlich durch zwei Seitenlinien begrenzt. Verbunden werden erstens die beiden linken Endpunkte der beiden horizonalen Elipsenachsen und zweitens die beiden rechten Endpunkte dieser Elipsenachsen.

Bei dem Schrägbild rechts ist der Sachverhalt unklar. Nach Logik der Konstruktion werden die beiden schwarz eingezeichneten Seitenlinien gezeichnet. Dies ist richtig, wie man sieht, wenn man den Zylinder in einen Quader einbeschrieben zeichnet. Für sich betrachtet erscheinen jedoch eher die Begrenzungslinien der blau hinterlegten Fläche die korrekten Konturlinien des Zylinders zu sein.

Noch offensichtlicher werden diese Schwierigkeiten bei Darstellungen des Kegels.

Darstellungen des Kegels

Hier eine Darstellung als Orthogonalprojektion und als Schrägbild einmal mit einem Beispiel, wo die Höhe im Verhältnis zum Radius groß ist:

Wie beim Zylinder fallen beim Schrägbild des Kegels die verbeulte Grundfläche und die nicht plausibel erscheinenden Konturlinien auf. Diese Probleme werden noch augenscheinlicher, wenn die Höhe im Verhältnis zum Radius klein wird:

3d-Skizzen

Deshalb wird in der Schule auch für Zylinder, Kegel und Kugel eine andere 3-dim Darstellung gelernt. Die nach hinten weisende y-Achse wird bei diesen runden Formen nicht im 45° Winkel, sondern in vertikaler Richtung nach oben auf die Hälfte verkürzt angetragen. Dies liefert für sich genommen einen schönen 3-dimensionalen Eindruck (sofern man die Konturlinien des Kegels korrekt tangential einzeichnet). Hier Zylinder und Kegel mit jeweils Radius 2 cm und Höhe 4 cm:

Der Systembruch wird jedoch offenbar, wenn runde Formen und Quader mit ihren nach unterschiedlicher Systematik erzeugten Schrägbildern in einem Bild gezeichnet werden. Im folgenden 3 Bilder eines Würfels mit eingebettetem Zylinder:

• links eine Kavalierprojektion mit der sichtbar unvorteilhaften Wiedergabe des Zylinders
• in der Mitte die ineinandergezeichneten Schrägbilder bzw. Skizzen, wie sie in der Schule gelehrt werden
• rechts eine Orthogonalprojektion. Mit ihr werden beide Körper sehr gut wiedergegeben.

Orthogonalprojektionen

Orthogonalprojektionen entsprechen sehr viel mehr dem, wie wir Körper tatsächlich sehen, als das Schrägbild. Somit sind die Abbildungen im Schulbuch, wenn es sich nicht um Zeichen-Vorlagen handelt, in der Regel Orthogonalprojektionen. Auch Geogebra zeigt uns dynamische Orthogonalprojektionen 3-dimensionaler Körper.

Orthogonalprojektionen sind schon für einfache Körper wie den Würfel nicht einfach von Hand zu zeichnen. Daher wird der Schüler angehalten, Kavalierprojektionen oder Skizzen zu zeichnen, Eines sollte jedoch auch bei einer Skizze beachtet werden:

Ein Kreis ist eine glatte (differenzierbare) Kurve. Die Orthogonalprojektion eines Kreises ist eine Elipse (d.h. sie hat niemals Ecken).

Schnittpunkte von Konturlinien

Während die Projektion von glatten 2-dim Kurven also wieder eine glatte Kurve ergibt, kann der Umriss von einem glatten Körper in der Projektion durchaus Ecken haben. So erscheint das Innere eines Torus in der Projektion in der Regel mit 2 Ecken:

Den Mantel des Torus kann man sich als Umhüllung einer Kugel vorstellen, die auf dem Kreis, in der Mitte des Torus entlangläuft. Dann sieht man dass die umhüllende Kurve der Torusprojektion eine Parallelkurve zu der Projektion des Mittelkreises ist (im Bild rot). Man hat somit für die umhüllenden Kurven der Torusprojektion 3 Fälle:

Das Innere des Torus kann also in der Projektion einen glatten Rand haben, in der Regel hat der Rand der Projektion aber Ecken. Betrachtet man auch die Schatten im Bild oben, versteht man, weshalb der Smiley, den die Mathematiker gewöhnlich in die Torusskizze zeichnen, so gut aussieht:

Der hier genutzte Latex-Code für die Torusdarstellungen findet sich hier:

https://tex.stackexchange.com/questions/348/how-to-draw-a-torus

Aber man hätte es ja doch gern digital, abspeicherbar, änderbar. Und oft gibt es dafür eine einfache Möglichkeit.

1. PowerPoint statt Word

PowerPoint lässt sich über den Reiter Entwurf > Foliengröße auf A4 und auf Hochformat umstellen. Im Gegensatz zu Word bietet es

• viel mehr grafische Bausteine,
• frei auf dem Blatt platzierbare Textblöcke/Aufgaben
• die beliebte eingekringelte Aufgabennummerierung findet sich unter Einfügen > Symbole > Symbol > eingekreiste alphanumerische Zeichen.
• Brüche und Formeln lassen sich ebenfalls als eigene Blöcke einfügen und optimal platzieren.
• Kästchenpapier-Blöcke können als Tabelle erzeugt und beliebig platziert werden.

Die beliebte Tägliche Übung im A5-Format lässt sich über eine A4-Querformat-Folie realisieren. Diese lässt sich schön auf der Tafel anzeigen. Auf 2 Folien verdoppelt, in Acrobat konvertiert und dann 2 in 1 ausgedruckt entstehen aus derselben Folie dazu passende A5 Arbeitsblätter.

Wahrscheinlichkeitsbäume und Zahlenstrahle lassen sich relativ gut über die Funktion ‚Start > Anordnen > ‚horizontal verteilen‘ erzeugen. Für die Ticks des Zahlenstrahls kopiere einen Tick einfach so oft, wie Ticks gebraucht werden, schiebe sie dann grob an ihren Platz und richte sie mit ‚oben ausrichten‘ und ‚horizontal verteilen‘ genau aus.

Soll das Bild (Rechteck, Kreis usw.) exakte Maße haben, geht dies über die rechte Maustaste mit Form formatieren. Dann lassen sich die Maße genau eingeben. Erfolgt die Konvertierung in pdf über ’speichern unter‘ bleiben die exakten Maße erhalten. Bei der Export-Funktion ist dies nach meiner Erfahrung nicht immer der Fall.

Soll ein gezeichneter Eindruck entstehen, kann das Linienformat auf eine leicht gewellte Linie umgestellt werden. Wähle Formformat > skizziert.

2. Geogebra

Besonders Konstruktionen und Funktionsgraphen lassen sich sehr einfach mit Geogebra erstellen und von dort entweder über das Sniping-Tool oder über den Bildexport in PowerPoint integrieren.

Mit Geogebra lassen sich auch schöne „Virtual-Reality“-Effekte erzeugen, z.B. die Elipse auf dem Schrägbild des Frühstückstellers oder die Parabel im Wasserfall.

Schwieriger wird es, wenn das Bild vorgegebene Längen haben soll, die der Schüler möglicherweise auch messen soll. Dazu muss das Geogebra-Bild auf die genauen Maße skaliert werden.

Nach Einfügen des Bildes in PowerPoint kannst du eine Linie auf das eingefügte Geogebrabild legen. Sie muss die zu kontrollierende Bildlinie deckungsgleich überlagern:

Die Länge der Powerpoint-Linie zeigt PowerPoint an. Die Strecke von A nach B ist hier absolut etwa 10 cm lang (Satz des Pythagoras). Soll diese Länge im Ausdruck 6 cm betragen, muss du die Breite des Bildes mit dem Faktor 6 / 10 skalieren. Die Breite des Bildes wird unter Bildformat angezeigt. Gib einfach die neue Sollbreite ein. Die PowerPoint-Hilfslinie kannst du dann wieder löschen.

Genauso können auch aus dem Internet genommene Bilder auf die gewünschten Absolutlängen skaliert werden.

3. Fertige Bildersammlungen

Eine vollständige Bruchsammlung nach Nennern geordnet von 0/1, 1/1, 0/2, 1/2, 2/2 ….11/12, 12/12 findest du auf dieser Seite unter Downloads. Weiterhin kannst du auch alle interaktiven Tafelbilder dieser Seite nach Bedarf einstellen und dann mit der rechten Maustaste herunterladen (Lizenz: CC BY-NC).

4. Funktionsgraphen

Funktionsgraphen kannst du mit Geogebra oder wie unten beschrieben mit Latex erzeugen. Einfacher geht es für die Standardgraphen, wenn du einen Funktionsplotter verwendest, z.B. den auf dieser Seite: https://mathetoolbar.de/mathlets/koordinatensystem.html.

Dort kannst du über den Modus „Funktion plotten“ beliebige Funktionen plotten, über den Modus „Ursprung verschieben“ den Ursprung an die richtige Stelle schieben und auch die äußeren Ränder des Koordinatensystems nach innen schieben (Ausschnitt verkleinern). Über den Modus „Punkte einzeichnen“ kannst du Punkte einzeichnen. Du hast kannst die Gitterhinterlegung zwischen 1 cm; 0,5 cm und Millimeterpapier wählen. Das Ergebnis kopierst du einfach in dein Arbeitsblatt.

5. Latex mit LibreOffice

Manche mögen Latex. Damit kann jede noch so komplizierte Formel perfekt gesetzt werden und es gibt eine eigene Bibliothek namens Tikz zum Erzeugen von Bildern.

Du musst deshalb nicht das ganze Arbeitsblatt mit LateX erzeugen. Bei wenigen Formeln und Bildern geht es auch so:

1. Arbeitsblatt zunächst im Wesentlichen (bis auf Formeln und nicht PowerPoint-konforme Bilder) in PowerPoint erstellen.
2. LibreOffice – Impress hat ein LaTeX-Addin, damit kannst du fehlende Formeln und Bilder mit LaTeX als eingebettete Vektorgraphiken erzeugen.
3. Diese kannst du dann in PowerPoint mit Strg + C -> rechte Maustaste, Bild einfügen hineinkopieren (Achtung Strg + V funktioniert nicht mehr zuverlässig, oftmals verschwinden dann gestrichelte Linien oder werden durchgezogen, also immer das Kontextmenü beim Einfügen verwenden).

Installiere dafür zunächst MikTeX und LibreOffice von ihren jeweiligen Homepages. Du benötigst dann die LibreOffice-Erweiterung TeXMath.

Öffne nach der Installation ein LibreOffice Dokument (z.B. Impress) und klicke auf das Formelsymbol. Es öffnet sich ein Fenster ‚TeXMathGleichung‘. Dort gibst du gleich deinen Latex-Code ein. Zunächst klicke jedoch auf Präamble und prüfe, ob die nötigen usepackages vorhanden sind. Für Bilder benötigst du tikz; amsmath ist für die Doppelstrichbuchstaben für reelle Zahlen, ganze Zahlen usw. verantwortlich. Je nach Komplexität der Bilder brauchst du mehr Bibliotheken.

Bei mir sieht es so aus:

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage[usenames]{color}
\usepackage{ifxetex}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{math, calc,intersections, quotes, angles, shapes.misc}
\usepackage{tikz-3dplot} 
% XeLaTeX compiler
\ifxetex

    \usepackage{fontspec}
    \usepackage{unicode-math}

    % Uncomment these lines for alternative fonts
%\setmainfont{FreeSerif}
%\setmathfont{FreeSerif}

% LaTeX compiler
\else

    % Uncomment this line for sans-serif maths font
\everymath{\mathsf{\xdef\mysf{\mathgroup\the\mathgroup\relax}}\mysf}

\fi
\definecolor{hellblau}{HTML}{7aefff}

In das Fenster TeXMath-Gleichung gibst du den LateX-Code ein. Setze auf der rechten Seite das Häkchen für Transparenz, dann hat deine Grafik einen transparenten Hintergrund und verdeckt nicht unnötig Text.

Hier z.B. der Code für ein paar konzentrische Kreise (Dartscheibe):

\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, line width=2mm]
    \path [draw=black,fill=yellow] (0,0) circle (3cm);
    \path [draw=black,fill=red] (0,0) circle (2cm);
    \path [draw=black,fill=green, line width=3mm] (0,0) circle (1cm);
    \draw [thin,gray] (-4,-4) grid (4,4);
\end{tikzpicture}

Oder eine Figur, die durch Verbinden von Punkten im Koordinatensystem entsteht:

\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm]
       \draw [draw=black, fill=lightgray]
       (0,0) -- (3,0) -- (3,3) -- (2,3) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
\end{tikzpicture}

Oder einfach eine coole Formel:

\int_2^{\infty}{\frac{x^3}{x^5 -7} dx}

Das Ergebnis ist jeweils ein skalierbares, eingebettetes svg-Bild. Dieses lässt sich in jedes Officedokument mit Strg + C und Strg + V kopieren:

Eine TikZ-Einführung mit vielen Beispielbildern auf der Basis von LibreOffice findest du hier unter Downloads.

Wenn du ein Dokument mit vielen Formeln und Bildern erstellen willst, ist es möglicherweise sinnvoller, dieses ganz in LibreOffice zu erstellen. Sollen die absoluten Längen aller Figuren stimmen, musst du entweder direkt mit LateX arbeiten oder die Bilder nachträglich richtig skalieren. Wenn die Bilder keinen Rand haben, geht das sehr einfach über rechte Maustaste > Größe und Position.

6. 3-dimensionale Bilder mit Latex

Bei dem in der Schule verwendeten Schrägbild wird die x- und y-Richtung unverzerrt abgebildet, die z-Richtung wird im 45° Winkel und auf die Hälfte verkürzt angetragen.

Wenn du in Latex eine Figur im 3-dimensionalen Raum beschreibst, d.h. 3-dimensionale Koordinaten verbindest, wird die resultierende Figur automatisch mit einer Axiometrie auf den 2-dimensionalen Raum projiziert. Allerdings stimmen die Parameter der Projektion nicht mit dem in der Schule geforderten Schrägbild überein. Damit dies der Fall ist, muss die Richtung und Skalierung der x-, y- und z-Achse explizit vorgegeben werden. Dies erfolgt durch die Parameter von tikzpicture:

\begin{tikzpicture}[
x={(1cm,0cm)},%x-Achse unverzerrt in x-Richtung
y={(0cm,1cm)}, %y-Achse unverzerrt in y-Richtung
z={({0.5*cos(45)},{0.5*sin(45)})}, %z-Achse im 45°-Winkel auf die Hälfte verkürzt
scale = 0.8% Skalierung des Bildes
]

Die Koordinaten werden dann 3-dim deklariert: \coordinate[label={above right}:{$A$}] (A) at (1.5,3,4);

Das Schrägbild von runden Körpern wie Kugel und Zylinder sieht nicht gut aus, siehe dazu den Beitrag 3-dim Anschauung und das Schrägbild. Deshalb ist es hier üblich, eine Orthogonalprojektion zu zeigen. Die 3-dim Darstellungen von Geogebra sind immer Orthogonalprojektionen.

Bei einer Orthogonalprojektion wird der Körper zunächst so gedreht, dass ein guter räumlicher Eindruck entsteht, dann werden die x- und y-Koordinaten abgetragen, wie sie sich nach der Drehung ergeben, die z-Koordinate entfällt.

Das tikz-3dplot-Paket erlaubt es, den Körper 3-dimensional zu beschreiben (dabei legt man ihn so, dass dies möglichst einfach möglich ist) und dann die Drehung des Körpers vorzugeben. Das Paket ermittelt dann automatisch die sich ergebende Orthogonalprojektion.

• Synthax: \tdplotsetmaincoords{θd}{φd}
• θd Winkel (in Grad) um den das Koordinatensystem um die x-Achse gedreht ist.
• φd Winkel (in Grad) um den das Koordinatensystem um die z-Achse gedreht ist.

7. Videos, Verlinkungen, QR-Codes und andere Gimmicks

Bildschirmaufnahme

Mit PowerPoint kann man sehr einfach eine Bildschirmaufnahme machen. Gehe einfach auf den Reiter Einfügen > Aufzeichnen und dann auf Bildschirmaufnahme. Mit Windows + Shift + Q beendest du die Aufnahme. Sie wird automatisch in die PowerPoint eingefügt und kann mit rechter Maustaste > Medien speichern unter als .mp4-Datei gespeichert und überall wieder eingefügt werden. Zahlreiche Internetplattformen ermöglichen die kostenlose Konvertierung in eine .gif-Datei.

Links und QR-Codes

Im Google Chrome Browser kannst du für eine beliebige Internetadresse über das Kontextmenü (rechte Maustaste) einen QR-Code für diese Seite erzeugen, den du dann als Bild in ein Arbeitsblatt einfügen kannst. Für alle Übungen auf dieser Seite klicke dafür einfach im Menü rechts auf QR-Code anzeigen.

Einem eingefügten Bild oder Piktogramm kann mit der rechten Maustaste ein Link hinzugefügt werden, so dass der Nutzer mit Klick auf das Bild auf diese Ressource gelenkt wird. Der Link kann zu einem Dokument im Laufwerk, zu einer Internet-Ressource oder auch zu einer anderen Seite desselben Dokuments führen. Ein Link kann auch einfach mit einem Linktext eingefügt werden. Das geht über Einfügen > Link.

Aufgabenillustrationen

Bei der letzten Grafik liegt eine LaTeX-Grafik (durchsichtiger Hintergrund) vor einem von Canva erzeugtem Baum.

Eingabefelder

In eine PowerPoint-Datei können keine Eingabefelder eingefügt werden, die bei einer Konvertierung in .pdf erhalten bleiben. Öffne dafür die PowerPoint-Datei in LibreOffice. Die Konvertierung klappt mittlerweile sehr gut. Selten musst du etwas am Format nachoptimieren. In Libreoffice kannst du über den Reiter Extras Eingabefelder, Auswahlfelder, Ankreuzkästchen und dergleichen hinzufügen. Bei der Konvertierung in .pdf bleibt alles erhalten und du erhältst ein schönes interaktives Arbeitsblatt.

Edition von pdfs

Wenn du Aufgaben aus pdfs übernehmen willst oder ein pdf editieren möchtest, öffne es zunächst mit LibreOffice. Das Dokument öffnet mit LibreOffice Draw und ist dann bis auf die Bilder editierbar. Das geht deutlich besser als die entsprechenden Funktionen von Microsoft Office.

So kannst du z.B. Prüfungsaufgaben in Arbeitsblätter übernehmen. Du kannst auch eine alte Prüfung als Basis für eine Vorprüfung verwenden und einzelne Aufgaben gegen Aufgaben aus anderen Prüfungen austauschen.

7. Wie habe ich das Titelbild erzeugt?

Den Wahrscheinlichkeitsbaum habe ich mit R-Projekt erzeugt. Code und Anleitung dafür findet sich hier.

8. Du hast einen weiteren Tipp?

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